UNIDAD 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

4.1- TEORIA PREELIMINAR

Un sistema con la forma de las ecuaciones se denomina sistema lineal de orden n, o

simplemente sistema lineal. Se supone que los coeficientes, a,, y las funciones, $, son

continuos en un intervalo común, Z. Cuando j(t) = 0, i = 1,2, . . ., n, se dice que el sistema lineal es homogéneo; en caso contrario, es no homogéneo.

Forma matricial de un sistema lineal Si X, A(t) y F(t) representan las matrices respectivas:

El sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se puede expresar como sigue:

0 simplemente como X’=AX+F.

Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es X’ = AX.(4)(5)

Ejemplo:

a)Si X = y0, la forma matricial del sistema homogéneo

5dx = 3x + 4y

s = 5x - 7y

                     ‘3      4

Esto es x’ =   5   – 7    X.

4.1.1-.SISTEMAS ECUACIONES DIFERENCIALES  LINEALES

Un sistema de ecuaciones diferenciales general tiene la forma:

Donde:

es una función vectorial

  es una función matricial

En un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:

4.1.2-.ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS

Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas es un sistema de la forma Ax = 0, esto es, con columna de constantes nula.

Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneas:

    3x1  -2x2 + x3 + 4x4 = 0;

    8x1  -5x2  -4x3 + x4 = 0;

    -2x1 + x2 + 6x3 + 7x4 = 0:

Solución. La columna de constantes es nula y sigue siendo nula al aplicar operaciones

elementales. Por eso no es necesario escribir la matriz aumentada, es suficiente trabajar

con la matriz de coeficientes.

4.1.3-.SOLUCION GENERAL Y PARTICULAR DE EDL

ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:

ORDEN 1: Y´=2x

ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0

ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex

ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx

Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial

Y´ = 6x 2 - 5

Tiene solución

F (x) = 2x3 - 5x + C

Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Se dice que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x3 – 5x. A veces se dan condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo

EJEMPLO 1 

a.Encontrar la solución general de la ecuación diferencial y´= 2x 

b.Obtener una solución particular de y´ = 2x que satisfaga la siguiente condición: y = 3 cuando x = 0 

SOLUCIÓN 

a.Si f es una solución de y´ = 2x, entonces f´´(x) = 2x. La integral indefinida lleva a la solución general 

Y = f (x) = x² + C.

Podemos encontrar soluciones particulares asignando valores específicos a C. Así obtenemos la familia de parábolas y = x² + C 

b.Si y = 3 cuando x = 0, entonces sustituyendo en y = x² + C obtenemos 3 = 0 + C, o bien C = 3. Por lo tanto, la solución particular es y = x² + 3

4.2-.METODOS DE SOLUCION PARA SISTEMAS DE EDL

**Método de variables separables

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma

dy = g(x)h(x)

dx

es separable, o de variables separables.

Soluciones Explicitas E Implícitas

Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al función .

solución General

Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, y´,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n-parametrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial.

solución Particular.

Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia mono paramétrica y = cex también satisface la ecuación 

dy = 2xy

**ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Las ecuaciones diferenciales del siguiente tipo aparecen muchas veces en el estudio de los fenómenos físicos.

DEFINICION 1.

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma: Y´ + P(x)y = Q(x) Donde P y Q son funciones continuas. . 

Q(x) = 0 para todo x, se obtiene y´ + P(x) = 0 que es separable. Concretamente se puede escribir:

1 dy = - P(x) o bien 1 dy = - P(x) dx

y dx y

siempre que y =/= 0. Integrando se obtiene

In |y| = - ¦P(x)dx + In |C|.

La constante de integración se ha expresado como In |C| para cambiar la forma de la última ecuación, como sigue:

Ln|y| - ln|C| = - ò P(x) dx

ln|y/C| = - ò P(x) dx

y/c = e ò p(x)dx = C

ahora se observa que

d [y e ò p(x)dx ] = Q(x) y e ò p(x)dx

= e ò p(x) dx [y¨+ p(x)y]

Por lo tanto si se multiplican por e f p(x)dx, ambos lados de y´+ P(x)y =Q(x), la ecuación resultante puede escribirse como

Dx [ye f P(x)dx ] = Q (x) e f P(x)dx

Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente solución implícita de la ecuación diferencial lineal de primer orden en la definición anterior.

ye f P(x)dx ] = Q (x) e f P(x)dx dx + K

donde K es una constante. Despejando y de esta ecuación se obtiene una solución explícita. Se dice que la expresión e f P(x)dx es un factor de integración (o integrativo) de la ecuación diferencial. Quedó demostrado el siguiente resultado.

TEOREMA 2

La ecuación diferencial lineal de primer orden y´ + P(x)y = Q(x) se puede transformar en una ecuación diferencial separable multiplicando ambos lados de la ecuación por el factor de integración e f P(x)dx . 

EJEMPLO 1

Resolver la ecuación diferencial dy/dx – 3x²y = x²

Solución La ecuación diferencial tiene la forma en la definición anterior con P(x) = -3x² y - y Q(x) = x ². Según el Teorema.

e f – 3x²dx = e– 3x³ 

es un factor integrativo. No necesitamos introducir una constate de integración porque e – x²+c = ece-x³ que difiere de e– x³

en un factor constante e c. Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por el factor de integración e-x³ obtenemos:

e –x²dy/dx – 3x²e-x² y = xx³e– 3x³

o bien Dx (e – 3x³² y) = x2e–x³.

Integrando ambos lados de la última ecuación

e-x-³ y = ò x² e-x-³ dx = - 1/3e-x-³ + c 

Finalmente, multiplicando por e–x³ obtenemos la solución explícita

Y = - 1/3 + Ce–x 

**ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS

Vamos a tratar las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes; es decir, las ecuaciones de la forma

Yy´´ + by´ + c = k(x)

Donde b y c son constantes y k es una función continua.

Es conveniente utilizar los símbolos D y D² para los operadores diferenciales tales que si y = ƒ(x), entonces

Dy = y´ = ƒ´(x) ´(x) y y D² y = y´= ƒ´´(x).

DEFINICION 11

Si y = ƒ(x) y ƒ´´ existe, entonces el operador diferencial lineal L = D² + bD + c se define por

L(y) = (D² + bD + c)y = D²y + bDy + bDy + cy

= y´´ + by´+ cy

Usando L, la ecuación diferencial y´´ + by´+ cy = k(x) puede escribirse en la forma compacta L(y) = k(x).

L(C) = CL(y) 

Y que si y1 = ƒ1(x) y ƒ2(x), entonces

L(y1 ± y2) = L(y1) ± L(y2)

Dada la ecuación diferencial y´´ + by´+ cy = k(x), es decir L(y) =k (x), se dice que la correspondiente ecuación homogénea L(y) = 0 es la ecuación complementaria

TEOREMA 12

Sea y´´ + by´ + cy = k(x) una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. Si yp es una solución particular de L(y) = k(x) y si yc es la solución general de la ecuación complementaria L(y) = 0,entonces la solución general de 

L(y) = k(x) es y = yp + yc .

**Ecuación diferencial de Bernoulli

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

Ejemplo

Para resolver la ecuación:

 (*)

Se hace el cambio de variable, que introducido en (*) da simplemente:

 (**)

Multiplicando la ecuación anterior por el factor:     se llega a:

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernoulli:

Y se resuelve ahora la ecuación:

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

                                      

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue  

4.2.1-.METODO DE LOS OPERADORES

Los operadores realizan algunas funciones en uno o dos operandos. Los operadores que requieren un operador se llaman operadores unarios. Por ejemplo, ++ es un operador unario que incrementa el valor su operando en uno. Los operadores que requieren dos operandos se llaman operadores binarios. El operador= es un operador binario que asigna un valor del operando derecho al operando izquierdo. Los operadores unarios en Java pueden utilizar la notación de prefijo o de sufijo

La notación de prefijo significa que el operador aparece antes de su operando, notación de sufijo significa que el operador aparece después de su operando; Todos los operadores binarios de Java tienen la misma notación, es decir aparecen entre los dos operandos: Además de realizar una operación también devuelve un valor. El valor y su tipo dependendel tipo del operador y del tipo de sus operandos.

*Los Operadores Aritméticos +suma- resta* multiplicación / división% .Todos los operadores que se muestran son binarios; es decir, trabajan con dos operandos. Los operadores + , y * funcionan de la manera conocida.

El operador / funciona de diferente manera si trabaja con datos de tipo entero o detipo flotante. Con datos de tipo flotante funciona de la manera tradicional; pero alrealizarse una división entre dos números enteros, el operador / regresa el cociente dela división entera; es decir, regresa la parte entera del resultado (si hay fracción laelimina).Por ejemplo:2/3 da como resultado 0pero2.0/3.0 da como resultado 0.66666

*Operador Uso Descripción

+ + op Indica un valor positivo- - op Niega el operando. Además, existen dos operadores de atajos aritméticos, ++ que incrementa en uno su operando, y -- que decrementa en uno el valor de su operando.

*Operador Uso Descripción

++ op ++

Incrementa op en 1; evalúa el valor antes de incrementar

++ ++ op

Incrementa op en 1; evalúa el valor después de incrementar -- op -- Decrementa op en 1; evalúa elvalor antes de decrementar -- -- op .Decrementa op en 1; evalúa elvalor después de decrementar

*Operadores de Asignación

Puedes utilizar el operador de asignación =, para asignar un valor a otro. Especificamente, suponga que quieres añadir un número a una variable y asignar elresultado dentro de la misma variable, como esto :i = i + 2;Puedes ordenar esta sentencia utilizando el operador

3+=.i += 2;Las dos líneas de código anteriores son equivalentes.

Elemento al que se aplica una operación.

4.2.2-.TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).es llamado el operador de la transformada de Laplace.

Propiedades

*Linealidad

*Derivación

*Integración

*Dualidad

*Desplazamiento de la frecuencia

*Desplazamiento temporal

*Desplazamiento potencia n-ésima

*Convolución

*Transformada de Laplace de una función con periodo p

*Condiciones de convergencia

 

   

(que crece más rápido que   no pueden ser obtenidas por Laplace, ya   

   que  es una función de orden exponencial de ángulos 

*Teorema del valor inicial

                               

Sea una función   derivable a trozos y que    Entonces :

 

*Teorema del valor final

Sea   una función derivable a trozos tal que   Entonces :

es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

4.3-. APLICACIONES:

--Familias de curvas, modelos matemáticos

**Trayectorias ortogonales

Como primera aplicación de algunos de los conceptos y procedimientos relativos a ecuaciones diferenciales de primer orden que se han introducido hasta el momento, se va a considerar el problema de hallar las trayectorias ortogonales a una familia de curvas dada. El problema tiene su origen en algunas aplicaciones en las que aparecen dos familias de curvas (planas) que son mutuamente ortogonales; esto es, cada curva de una de las familias es ortogonal en todos sus puntos a cada curva de la otra familia. En tales casos, se dice que cada una de ellas es una familia de curvas ortogonales a la otra.

De esta manera, obtener las trayectorias ortogonales a una familia de curvas de las cuales se conoce su expresión analítica f(x; y;C) = 0, requiere los siguientes pasos:

1. Diferenciar la ecuación f(x; y;C) = 0.

2. Eliminar C del sistema formado por la ecuación y su derivada, para así obtener la ecuación diferencial

de la familia.

3. Obtener la ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales aplicando el resultado precedente.

4. Integrar la ecuación resultante.

--Modelos de poblacion

El analisis del problema de tasar el crecimiento de una poblacion permite ilustrar las diferentes etapas que

se presentan en el estudio de un problema de Matematica Aplicada.

1. Problema físico: Se trata de obtener una ley que permita predecir el crecimiento de una poblacion p(t) que varía con el tiempo.

2. Formulacion matemática: La primera dificultad que se encuentra al intentar formular matemáticamente el problema es que una poblacion solo toma valores enteros y, por lo tanto, considerada como función del tiempo, es una funcion discontinua. El problema se solventa observando que, si se trata de una población elevada, la variacion en una unidad es comparada con el numero de individuos que constituye el valor de la población y, por consiguiente, se puede considerar que esta vara continua e incluso diferenciablemente con el tiempo.

3. Modelo matemático (Primera aproximación): En primera aproximación podría hacerse la hipótesis de que \el número de individuos que nacen y que mueren por unidad de tiempo  es proporcional a la población existente".

--Desintegracion radiactiva

Experimentalmente se ha comprobado que el ritmo de desintegracion de los elementos radiactivos es proporcional

a la cantidad de elemento presente. Así, si Q(t) designa dicha cantidad en cada instante de tiempo, se tiene que la ley de desintegración es:

dQ dt= KQ (K < 0)